Основные принципы

Если отказаться от локализации информации о состоянии системы в конечном наборе чисел \(\{q_i(t),p_i(t)\}\) и заменить его вещественно-значной (и в должной мере гладкой) функцией распределния \(f(x,p,t)\), то уравнения динамики должны будут надлежащим образом изменены.

Придадим функции \(f(x,p,t)\) следующий физический смысл: предположим, что фазовое пространство \(\mathcal{P}\) наделено мерой интегрирования \(dx\,dp\); тогда выражение \(f(x,p,t)\,dx\,dp\) имеет смысл вероятности обнаружения частицы в инфинитеземальной (бесконечно малой) окрестности точки \((q,p)\) с объёмом \(dx\,dp\). Для конечной же области \(G\subseteq\mathcal{P}\) вероятность \(P_G(t)\) обнаружения частицы в "движущейся области" \(g^t(G)\) в момент времени \(t\) будет выражаться следующим интегралом: $$ \begin{equation} P_G(t) = \int\limits_{g^t(G)} f(x,p,t)\,dx\,dp \end{equation} $$

Для получения уравнения динамики для информационного поля \(f(x,p,t)\) (которое на данном уровне имеет простой смысл положительно-определённой функции распределения или вероятностной меры) мы можем потребовать выполнения следующего естественного закона сохранения: $$ \begin{equation} P_G(t) = const \label{Pconst} \end{equation} $$ Это условие попросту означает, что если частица находилась в начальный момент (\(t=0\)) где-либо внутри области \(G\), то в любой последующий момент времени \(t\) она может оказаться только в "движущейся области" \(g^t(G)\) (т.е. в фазовом образе \(G\)). Частицы не исчезают и не возникают ниоткуда. Это условие чисто классическое и нам придётся его отбросить в квантовом режиме.

Далее, мы можем воспользоваться известной транспортной теоремой (или "теоремой Лиувилля"), которую мы приводим здесь в самом общем случае неавтономной динамической системы: $$ \begin{align} & \dot{x}^i = F^i(x,t),\\ & x^i(0) = y^i, g^t(y) = x(t;y),\\ & {d\over dt}\int\limits_{g^t(G)} f(x,t)\,d^nx = \int\limits_{g^t(G)}\left\{{\partial f\over\partial t} + \sum\limits_{i=1}^n {\partial\over\partial x^i}(F^i f)\right\}\label{transport} \end{align} $$ Заметим сходство правой части (\ref{transport}) с уравнением непрерывности из гидродинамики: \(\partial_t\rho + \div(\rho\mathbf{v}) = 0\). Это не случайно и отражает важный факт: информация "течёт" в фазовом пространстве подобно обыкновенной жидкости, с той лишь разницей, что роль поля скоростей играет фазовый поток. Как мы увидим в дальнейшем, это верно только в классическом режиме, т.е. при отсутствии учёта реальности пространства.

Для гамильтоновой системы сумма в выражении выше превращается в скобку Пуасона \(\{f,H\}\): $$ {d\over dt}\int\limits_{g^t(G)} f(x,p,t)\,dx\,dp = \int\limits_{g^t(G)}\left\{{\partial f\over\partial t} - \{H,f\}\right\} $$ Таким образом, условие (\ref{Pconst}) эквивалентно следующему уравнению в частных производных первого порядка для информационного поля: $$ \begin{equation} \partial_t f = \{H,f\} \end{equation} $$ Исходные уравнения движения являются характеристиками для данного уравнения.

Можно суммировать описанное выше следующим образом. Система состоит из информационного поля, текущего в фазовом пространстве подобно жидкости, и частиц, движущихся вдоль характеристик этого поля. Уравнения динамики этой совокупности настолько важны, что мы приводим их ещё раз все вместе: $$ \begin{align} \dot x & = \{x,H\}\label{dotx}\\ \dot p & = \{p,H\}\label{dotp}\\ \partial_t f & = \{H,f\}\label{dotf} \end{align} $$ Отсюда видно, что уравнения движения частиц и информации о частицах, записанные с помощью скобок Пуассона, очень похожи.

Формальное решение \(f(x,p,t)\) задачи Коши для (\ref{dotf}) даётся следующей экспонентой от дифференциальных операторов: $$ \begin{equation} f(x,p,t) = \exp\left\{t({\partial H\over\partial p}{\partial\over\partial x} - {\partial H\over\partial x}{\partial\over\partial p})\right\}f_0(x,p) \end{equation} $$

Для того, чтобы это формальное решение превратить в форму, удобную для численных вычислений, можно воспользоваться формулой Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа: $$ \begin{equation} f(x,p,t+\Delta t) \approx \exp\left\{t{\partial H\over\partial p}{\partial\over\partial x}\right\} \exp\left\{-t{\partial H\over\partial x}{\partial\over\partial p}\right\}f(x,p,t) \end{equation} $$ А здесь мы можем непосредственно применить метод спектрально-расщепляющего пропагатора, т.е. "прыгая" от пространства функций от \(x-p\) в пространство фурье-образов по \(p\) и затем по \(x\) мы можем избавиться от дифференциальных операторов и решить задачу Коши. В классическом случае имеются и другие методы решения этого уравнения, но в квантовом случае метод спектрально-расщепляющего пропагатора является практически единственным стабильным алгоритмом и я использовал его во всех своих компьютерных симуляциях.

Можно определить понятие энтропии \(S_G(t)\), связанной с данным информационным полем \(f(x,p,t)\): $$ \begin{equation} S_G(t) = - \int\limits_{g^t(G)} f(x,p,t)\ln f(x,p,t)\,dx\,dp = const \end{equation} $$ Эта величина хорошо определена, ибо если информационное поле неотрицательно в начальный момент времени, то оно останется таковым всегда: $$ \begin{equation} f_0(x,p)\geqslant 0 \Rightarrow f(x,p,t) \geqslant 0 \end{equation} $$

Это непосредственно следует из того, что информационное поле постоянно вдоль характеристик: $$ \begin{equation} {df(x(t),p(t),t)\over dt} = {\partial f \over\partial t} + \{f,H\} = 0 \end{equation} $$

Заметим, что в классическом режиме энтропия принимает вещественные значения. Это уже не так в квантовом режиме, где энтропия становится комплексно-значной и мнимая часть её, по-видимому, соответствует понятию "негэнтропии" или "синтропии", т.е. её рост связан с появлением порядка и, возможно, описывает возникновение само-организации. Этот эффект ясно виден в одной из моих симуляций.

Связь с гидродинамикой

Как было указано выше, информация течёт в фазовом пространстве как жидкость подчиняющаяся уравнению непрерывности. Оказывается, что проекции информационного поля на координатное и импульсное подпространства также представляют собой непрерывную жидкость, текущую в соответствующем подпространстве. Давайте докажем это строго.

Для начала определим пару величин \(\rho(x,t),\mathbf{u}(x,t)\), имеющих смысл пространственной плотности и поля скоростей соответственно: $$ \begin{align} \rho(x,t) &\equiv \int f(x,p,t)\,d^np\label{rho}\\ \rho(x,t)u^i(x,t) & \equiv \int {\partial H\over\partial p_i}f(x,p,t)\,d^np\label{u} \end{align} $$

Проверим, подчиняются ли они уравнению непрерывности в \(x\)-пространстве: $$ \begin{equation} {\partial\rho\over\partial t} + \div(\rho\mathbf{u}) = \int\,d^np\left\{\{H,f\} + {\partial\over\partial x^i}\left({\partial H\over\partial p_i} f\right)\right\} = \int\,d^np\left\{{\partial H\over\partial x^i}{\partial f\over\partial p_i} + {\partial^2 H\over\partial x^i\partial p_i}f\right\} = \int\,d^np{\partial\over\partial p_i}\left({\partial H\over\partial x^i}f\right) = 0\label{contin1} \end{equation} $$

Последний интеграл в формуле (\ref{contin1}) равен нулю, так как мы предположили, что при бесконечных значениях импульса подинтегральная функция "ведёт себя хорошо", т.е. стремится к нулю достаточно быстро, чтобы "поверхностные члены" исчезли. Тем самым, мы установили, что информационная "жидкость" спроецированная на координатное пространство течёт согласно уравнению непрерывности: $$ \begin{equation} {\partial\rho\over\partial t} + \div(\rho\mathbf{u}) = 0 \end{equation} $$

Теперь построим пару сопряжённых величин \(\tilde\rho(p,t),\tilde{\mathbf{u}}(p,t)\), имеющих смысл импульсной плотности и "распределению скоростей в импульсном пространстве", по аналогии с (\ref{rho},\ref{u}): $$ \begin{align} \tilde\rho(p,t) &\equiv \int f(x,p,t)\,d^nx\label{rhop}\\ \tilde\rho(p,t)\tilde{u}_i(p,t) & \equiv -\int {\partial H\over\partial x^i}f(x,p,t)\,d^nx\label{up} \end{align} $$

В полной аналогии с выкладкой (\ref{contin1}) имеем: $$ \begin{equation} {\partial\tilde\rho\over\partial t} + \div_p(\tilde\rho\tilde{\mathbf{u}}) = \int\,d^nx\left\{\{H,f\} - {\partial\over\partial p_i}\left({\partial H\over\partial x^i} f\right)\right\} = -\int\,d^nx\left\{{\partial H\over\partial p_i}{\partial f\over\partial x^i} + {\partial^2 H\over\partial x^i\partial p_i}f\right\} = -\int\,d^nx{\partial\over\partial x^i}\left({\partial H\over\partial p_i}f\right) = 0\label{contin2} \end{equation} $$

Итак, мы установили, что проекция информационной "жидкости" на импульсное пространство течёт согласно уравнению непрерывности, т.е. имеет место полная симметрия с ситуацией в \(x\)-подпространстве: $$ \begin{equation} {\partial\tilde\rho\over\partial t} + \div_p(\tilde\rho\tilde{\mathbf{u}}) = 0 \end{equation} $$

Заметим, что подобная возможность расщепления на \(x\) и \(p\)-подпространства присутствует только в простейшем случае евклидовой геометрии. В более общем случае риманова (или лоренцева) конфигурационного многообразия \(\mathcal{M}\), фазовое пространство представляет собой кокасательное расслоение \(T^*\mathcal{M}\) над базой \(\mathcal{M}\) и всякое сравнение (или интегрирование) векторов импульса \(\mathbf{p}\) принадлежащих различным слоям \(T_x^*\mathcal{M}\) теряет смысл. Мы можем интегрировать по \(p\) только в пределах одного слоя \(\mathcal{p}\in T_x^*\mathcal{M}\) в каждой точке \(x\in\mathcal{M}\).

Построим величины, имеющие смысл плотности энергии и плотности потока энергии: $$ \begin{align} \epsilon(x,t) &\equiv \int H(x,p,t) f(x,p,t)\,d^np\\ q^i(x,t) &\equiv \int {\partial H(x,p,t)\over\partial p_i} f(x,p,t)\,d^np\\ \end{align} $$

Нетрудно проверить, что они удовлетворяют следующему локальному закону сохранения энергии: $$ \begin{equation} {\partial\epsilon\over\partial t} + \div(\mathbf{q}) = \int {\partial H\over\partial t} f\,d^np = \overline{\partial_t H} \end{equation} $$

Построим величину, имеющую смысл тензора напряжений: $$ \begin{equation} P^{ik} \equiv \int {\partial H\over\partial p_i}{\partial H\over\partial p_k} f\,d^np \end{equation} $$

Она удовлетворяет уравнению, аналогичному уравнению Эйлера в гидродинамике: $$ \begin{equation} {\partial(\rho u^i) \over\partial t} + {\partial P^{ik}\over\partial x^k} = \int \left( {\partial H_{p_i}\over\partial t} +\{H_{p_i},H\} \right) f\,d^np \end{equation} $$ где \(H_{p_i} \equiv {\partial H\over\partial p_i}\).

Перейдём теперь к строгому выводу уравнений гидродинамики исходя из основных уравнений нелокальной статистической механики, которую мы здесь окрестили "классической инфодинамикой". В этом вопросе мы следуем изложению в классической монографии А.А. Власова "Статистические функции распределения" (см. стр. 56, §8).

В математике известно, что если \(\Phi(x)\) — некоторая функция, то какие-то свойства этой функции сохраняются в моментах \(n\)-го порядка (\(n\in\mathbb{N})\): $$ \begin{equation} M_n = \int x^n \Phi(x)\diff x \end{equation} $$ Эта секция недописана...

Гармонический осциллятор

В качестве иллюстрации, рассмотрим случай гармонического осциллятора, т.е. системы с функцией Гамильтона \(H(x,p)\), являющейся полиномом по координате \(x\) и импульсу \(p\): $$ \begin{equation} H(x,p) = {p^2\over2m} + {m\omega^2 x^2\over2} \end{equation} $$

Характеристическая система (\ref{dotx}-\ref{dotp}) имеет форму: $$ \begin{align} & \dot x = {p\over m}\label{harmdotx}\\ & \dot p = -m\omega^2 x\label{harmdotp}\\ & x(0) = x_0\\ & p(0) = p_0\\ \end{align} $$

Общее решение (\ref{harmdotx}-\ref{harmdotp}) в форме Коши хорошо известно: $$ \begin{align} x(t) & = x_0\cos{\omega t} + {p_0\over m\omega}\sin{\omega t}\label{harmxsol}\\ p(t) & = p_0\cos{\omega t} - {m\omega x_0}\sin{\omega t}\label{harmpsol}\\ \end{align} $$

Найдя из уравнений (\ref{harmxsol}-\ref{harmpsol}) \(x_0,p_0\) мы можем использовать метод характеристик для получения временной эволюции классического информационного поля \(f(x,p,t)\): $$ \begin{equation} f(x,p,t) = f_0(x_0(x,p,t),p_0(x,p,t)) = f_0(x\cos{\omega t} - {p\over m\omega}\sin{\omega t}, p\cos{\omega t} + {m\omega x}\sin{\omega t})\label{harmfsol} \end{equation} $$

Форма решения (\ref{harmfsol}) показывает, что носитель начального распределения \(f_0(x,p)\) вращается в \(x-p\) плоскости с циклической частотой \(\omega\). К такому заключению можно было придти заметив, что векторное поле \(p\partial_x - x\partial_p\), генерирующее фазовый поток, может быть приведено к форме \(\partial_{\varphi}\), а это есть хорошо известный генератор вращений.

Зададим начальное распределение в форме нормализованной гауссовой функции с центром в произвольной точке \((x_0,p_0)\in\mathbb{R}^2\): $$ \begin{equation} f_0(x,p) = {1\over {2\pi\sigma_x\sigma_p}} \exp\left\{ -{(x-x_0)^2\over{2\sigma_x^2}} - {(p-p_0)^2\over{2\sigma_p^2}} \right\}\label{harmGaussf} \end{equation} $$

Подсчитаем энергию \(E\) в состоянии \(f_0\): $$ \begin{equation} E = \int H(x,p)f_0(x,p)\,dx\,dp = {p_0^2\over2m} + {m\omega^2 x_0^2\over2} + {\sigma_p^2\over2m} + {m\omega^2\sigma_x^2\over2}\label{harmE} \end{equation} $$

Как видим из (\ref{harmE}), энергия состоит из двух элементов: чисто механической энергии центра волнового пакета и вклад от информации о координате и импулье (точнее, от её недостатка), имеющей форму квазичастицы с импульсом \(\sigma_p\) и координатой \(\sigma_x\).

Рассмотрим теперь распределение Больцмана, т.е. состояние максимальной энтропии, при заданной энергии и нормировке распределению на единицу: $$ \begin{equation} f_B(x,p) = {1\over Z(\beta)}\exp(-\beta H(x,p))\label{harmBoltzf} \end{equation} $$

Если сравнить функции (\ref{harmGaussf}) и (\ref{harmBoltzf}), нетрудно заметить, что они совпадают при следующих условиях: $$ \begin{align} & x_0 = 0, p_0=0\\ & \sigma_x = {1\over{\omega\sqrt{m\beta}}}, \sigma_p = \sqrt{m\over\beta}\label{harmsigmaxp} \end{align} $$

Из формулы (\ref{harmsigmaxp}) мы получаем классический аналог принципа неопределённости Гейзенберга: $$ \begin{equation} \sigma_x\sigma_p = {1\over{\beta\omega}} \end{equation} $$ Гораздо более существенным представляется тот факт, что между \(\sigma_x\) и \(\sigma_p\) существует следующая связь: $$ \begin{equation} \boxed{\sigma_x = {\sigma_p\over{m\omega}}}\label{sxsp} \end{equation} $$ Иными словами, если осциллятор находится в стационарном смешанном состоянии центрированном около покоя и положения равновесия (т.е. соответствующего максимальной энтропии при условии фиксированной полной энергии и нормировке функции распределения), то "неопределённости" координаты \(\sigma_x\) и импульса \(\sigma_p\) не могут принимать произвольные значения, но связаны соотношением (\ref{sxsp}). На этом простом примере мы видим, что существует классический принцип неопределённости в рамках классической инфодинамики. С математической точки зрения, он возникает из-за того, что стационарные смешанные состояния образуют однопараметрическое (т.е. по \(\beta\)) семейство функций \(f(x,p)\) и, следовательно две величины \(\sigma_x\) и \(\sigma_p\) не могут быть заданы независимо: фиксация значения одной из них автоматически определяет значение другой.

Операция квантования

Операция квантования является в определённом смысле "магической", т.е. не-определимой или не сводимой к более элементарным понятиям. Многие авторы пытаются "замаскировать" этот факт разными способами, но внимательно следуя их логическим рассуждениям, мы непременно встречаемся с предположением или "постулатом", который и является пере-фразировкой той "магической" процедуры, которую пытаются скрыть. Например, я встречал даже такое вздорное утверждение как "можно вывести уравнение Шрёдингера", но в итоге весь "фокус" сводился к тому, чтобы подставить операторы \(\hat{E} = i\hbar{\partial\over\partial t}\) и \(\hat{P} = -i\hbar{\partial\over\partial x}\) в классическое выражение для энергии \(E = {P^2\over 2m} + U(x)\). Мы постараемся не опускаться до уровня подобного надувательства и честно признаем, что конкретная форма процедуры квантования, по-видимому, является прямым действием Трансцендентных Зодчих Мироздания и имеет райскую природу, т.е. не может быть удовлетворительно объяснена на нашем, конечном уровне реальности.

Для наших целей будет удобным сформулировать процедуру квантования (т.е. "активации" реальности пространства) следующим компактным образом: $$ \begin{align} & [A,B] \equiv {1\over i\hbar}(A\star B - B\star A)\label{quantumbrackets}\\ & \star \equiv \exp\left\{{i\hbar\over2}(\overset{\leftarrow}{\partial_x}\overset{\rightarrow}{\partial_p} - \overset{\leftarrow}{\partial_p}\overset{\rightarrow}{\partial_x})\right\}\\ & \{A,B\} \mapsto [A,B], \label{quantisation} \end{align} $$

т.е. классические скобки Пуассона \(\{A,B\}\) заменяются квантовыми \([A,B]\), согласно определению (\ref{quantumbrackets}). Это наш основной постулат и он не может быть сведён к более фундаментальной или элементарной форме (хотя и имеет множество эквивалентных формулировок).

В классическом пределе \(\hbar\rightarrow 0\) квантовые скобки совпадают с классическими скобками Пуассона: $$ \begin{equation} \lim_{\hbar\rightarrow 0}[A,B] = \{A,B\}\\ \end{equation} $$

Фундаментальные уравнения

Теперь мы готовы переписать фундаментальную систему уравнений классической инфодинамики в терминах квантовых скобок и, тем самым, получить фундаментальную систему уравнений квантовой инфодинамики: $$ \begin{align} \dot x & = [x,H]\label{qdotx}\\ \dot p & = [p,H]\label{qdotp}\\ \partial_t\rho & = [H,\rho]\label{qdotrho} \end{align} $$

где мы обозначили квантовое информационное поле через \(\rho(t)\), предвидя тот факт, что оно совпадает с известной из ортодоксальной квантовой механики матрицей плотности.

Здесь следует отметить следущий интересный факт: квантовые скобки координаты \(x\) и импульса \(p\) с функцией Гамильтона \(H(x,p,t)\) совпадают с классическими: $$ \begin{align} & \{x,H\} \equiv [x,H]\\ & \{p,H\} \equiv [p,H] \end{align} $$

Это означает, что первые два из уравнений квантовой инфодинамики совпадают с классическими, т.е. характеристики классического информационного поля остаются неизменными при процедуре квантования. Можно сказать иначе, более явно подчёркивая разницу между нашей и общепринятой интерпретацией квантовой механики: квантовые частицы двигаются по классическим траекториям, но информационное поле связанное с ними меняется согласно закону (\ref{qdotrho}), значительно более сложному, чем классический закон (\ref{dotf}). Однако, когда положение и импульс частицы подвергаются измерению, мы фактически взаимодействуем с информацией о частице, а не с самой частицей, т.е. последняя становится как бы абстрактной и неосязаемой сущностью на квантовом уровне и представляет собой некий каркас для информационного поля, формируемого внутри и вовне частицы, согласно реальности пространства содержащего и содержащегося в ней.

Таким образом, мы приходим к согласию между двумя, казалось бы, несовместимыми утверждениями Урантийских Документов (65:6.1 и 42:5.14): одно, подтверждающее принцип неопределённости Гейзенберга и второе, утверждающее, что все частицы движутся по вполне определённым траекториям.

Матрица плотности и 4-операторная алгебра \((\hat{x},\hat{p},\hat{\theta},\hat{\lambda})\)

А теперь давайте запишем уравнение (\ref{qdotrho}) в форме, связывающей его с матрицей плотности известной из ортодоксальной квантовой механики. Для этого нам поможет симметрия между конфигурационным и импульсным пространствами. Мы используем те же обозначения, что и в очень важной статье Кабрера, Бондарь и др. (см. "Efficient Method to generate time evolution of the Wigner function for open quantum systems", Nov 2015). Оказывается, что можно разложить квантовые операторы координаты и импульса в линейную комбинацию операторов соответствующих классических величин (т.е. одновременно измеримых) и квантовых коррекций к ним, следующим образом: $$ \begin{align} & \qx = \hat{x} - {\hbar\over 2}\hat{\theta}\label{Xdef}\\ & \qp = \hat{p} + {\hbar\over 2}\hat{\lambda}\label{Pdef}\\ & [\qx,\qp] = i\hbar\label{XPcomm} \end{align} $$

Чтобы удовлетворить основному коммутационному соотношению (\ref{XPcomm}) мы накладываем следующие 6 коммутационных соотношений на 4 оператора \(\hat{x},\hat{p},\hat{\lambda},\hat{\theta}\): $$ \begin{align} & [\hat{x},\hat{\lambda}] = i\label{xpcomm1}\\ & [\hat{p},\hat{\theta}] = i\\ & [\hat{x},\hat{p}] = 0\\ & [\hat{x},\hat{\theta}] = 0\\ & [\hat{\lambda},\hat{\theta}] = 0\\ & [\hat{p},\hat{\lambda}] = 0\label{xpcomm2}\\ \end{align} $$

Отсюда видно, что смысл операторов классической координаты \(\hat{x}\) и классического импульса \(\hat{p}\) в том, что они соответствуют одновременно измеримым (на квантовом языке: коммутирующим) значениям физических координаты и импульса.

Далее, нам также нужна зеркальная алгебра операторов \(\qxm\) и \(\qpm\): $$ \begin{align} & \qxm = \hat{x} + {\hbar\over 2}\hat{\theta}\\ & \qpm = \hat{p} - {\hbar\over 2}\hat{\lambda}\\ & [\qxm,\qpm] = -i\hbar\label{XP1comm} \end{align} $$

Нетрудно проверить, что условие (\ref{XP1comm}) автоматически выполняется благодаря (\ref{xpcomm1}-\ref{xpcomm2}).

Теперь мы готовы записать уравнение для матрицы плотности \(\rho(t)\)в самой общей форме: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\rho\over\partial t} = \{H(\qx,\qp) - H(\qxm,\qpm)\}\rho = \{H(\hat{x} - {\hbar\over 2}\hat{\theta},\hat{p} + {\hbar\over 2}\hat{\lambda}) - H(\hat{x} + {\hbar\over 2}\hat{\theta},\hat{p} - {\hbar\over 2}\hat{\lambda})\}\rho\label{densmat} \end{equation} $$

Формально решение уравнения (\ref{densmat}) может быть записано не фиксируя конкретное представление четырёх операторов \((\hat{x},\hat{p},\hat{\theta},\hat{\lambda})\): $$ \begin{equation} \rho(t) = \exp\left\{-{it\over\hbar}\left( H(\hat{x} - {\hbar\over 2}\hat{\theta},\hat{p} + {\hbar\over 2}\hat{\lambda}) - H(\hat{x} + {\hbar\over 2}\hat{\theta},\hat{p} - {\hbar\over 2}\hat{\lambda} \right)\right\}\rho(0) \label{rhosol} \end{equation} $$

\(x-p\) представление: функция Вигнера \(W(x,p,t)\)

Располагая четырьмя операторами \(\hat{x},\hat{p},\hat{\lambda},\hat{\theta}\) мы имеем свободу в выборе представления в котором любые два из них сводятся к обыкновенному умножению на числу и другие два к операции дифференцирования (это вполне аналогично ситуации в обычной квантовой механике, где есть свобода выбора \(X\) или \(P\) представления).

Например, мы можем выбрать в качестве операторов умножения на число \(\hat{x}\) и \(\hat{p}\): $$ \begin{align} & \hat{x} = x\label{xprepx}\\ & \hat{p} = p\label{xprepp}\\ & \hat{\theta} = -i\partial_p\label{xpreptheta}\\ & \hat{\lambda} = -i\partial_x\label{xpreplambda}\\ \end{align} $$

Тогда, уравнение для матрицы плотности (\ref{densmat}) принимает форму: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial W\over\partial t} = \left\{H(x + {i\hbar\over 2}\partial_p, p - {i\hbar\over 2}\partial_x) - H(x - {i\hbar\over 2}\partial_p, p + {i\hbar\over 2}\partial_x)\right\}W(x,p,t), \label{WignerEq} \end{equation} $$

в которой мы немедленно узнаём уравнение Мояля для функции Вигнера \(W(x,p,t)\).

Представление Олаво: \(F(x,p,t)=\Psi^*(x,p,t)\Psi(x,p,t)\)

В цикле статей Л.С.Ф. Олаво под названием "Квантовая механика как классическая теория" было показано, как можно построить положительно-определённую функцию распределения на фазовом пространстве. Причём сделать это не произвольным образом, а так, чтобы величина энергии, подсчитанная с помощью этой функции совпадала с величиной, подсчитанной обычным образом; по крайней мере в нерялитивстском случае это строго доказано в работе XVI серии.

Рассмотрим чему это соответствует в нашем формализме. Для этого, начнём с уравнения Шрёдингера, а не с уравнения для матрицы плотности, но запишем его в терминах операторов \(\qx\) и \(\qp\): $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\Psi\over\partial t} = H(\qx,\qp)\Psi \end{equation} $$

Теперь заменим операторы \(\qx,\qp\) согласно их определению (\ref{Xdef}-\ref{Pdef}) в рассматриваемом представлении (\ref{xprepx}-\ref{xpreplambda}): $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\Psi(x,p,t)\over\partial t} = H(x+{i\hbar\over 2}\partial_p, p-{i\hbar\over 2}\partial_x)\Psi(x,p,t) \end{equation} $$

Теперь нетрудно составить функцию, которая является очевидно положительно-определённой и, следовательно, может быть интерпретирована как плотность вероятностной меры, т.е. функция распределния: $$ \begin{equation} F(x,p,t) = \Psi^*(x,p,t)\Psi(x,p,t) \end{equation} $$

Более того, эта функция имеет важное свойство, доказанное в Олаво, 2003), что энергия, подсчитанная с помощью \(F(x,p,t)\) совпадает со значением, вычисленным на основе изначальной амплитуде вероятности (\psi(x,t)\), удовлетворяющей обычному уравнению Шрёдингера: $$ \begin{equation} \bar{E} = \int\left({p^2\over{2m}} + U(x)\right)F(x,p,t)\,dx\,dp = \int\psi^*(x,t)\left(-{\hbar^2\over{2m}}{\partial^2\over\partial x^2} + U(x)\right)\psi(x,t)\,dx \end{equation} $$

Исследуем вопрос о том, является ли функция Олаво \(F(x,p,t)\) возможным представлением квантового информационного поля. Для ответа на этот вопрос оказывается достаточным рассмотреть классический предел в случае свободной нерелятивистской частицы. Мы проделаем выкладки в \(x-p\)-представлении гильбертова фазового пространства: $$ \begin{equation} H = {\hat{P}^2\over{2m}} = {(p-{i\hbar\over2}\partial_x)^2\over{2m}} \end{equation} $$

Уравнение Шрёдингера принимает вид: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\Psi(x,p,t)\over\partial t} = {1\over2m}\left(p^2 - i\hbar p\partial_x - {\hbar^2\over4}\partial_x^2\right)\Psi(x,p,t) \end{equation} $$

А также уравнение для сопряжённой функции: $$ \begin{equation} -i\hbar{\partial\Psi^*(x,p,t)\over\partial t} = {1\over2m}\left(p^2 + i\hbar p\partial_x - {\hbar^2\over4}\partial_x^2\right)\Psi^*(x,p,t) \end{equation} $$

Попытаемся получить уравнение, которому удовлетворяет функция Олаво \(F(x,p,t)\): $$ \begin{equation} i\hbar\partial_t F(x,p,t) = i\hbar\partial_t\Psi^*\Psi + i\hbar\Psi^*\partial_t\Psi = \Psi {1\over2m}\left(-p^2 - i\hbar p\partial_x + {\hbar^2\over4}\partial_x^2\right)\Psi^* + \Psi^*{1\over2m}\left( p^2 - i\hbar p\partial_x - {\hbar^2\over4}\partial_x^2\right)\Psi \end{equation} $$ $$ \begin{equation} i\hbar{\partial F(x,p,t)\over\partial t} = -{i\hbar p\over2m}{\partial F\over\partial x} + {\hbar^2\over8m}\left(\Psi\Psi^*_{xx} - \Psi^*\Psi_{xx}\right) \end{equation} $$

Последнее уравнение можно переписать в более компактной форме: $$ \begin{equation} {\partial F\over\partial t} + {p\over2m}{\partial F\over\partial x} = {\hbar\over4m}\Im(\Psi\Psi^*_{xx}) \end{equation} $$

Отсюда непосредственно видно, что классический предел \(\hbar\to0\) этого уравнения не совпадает с уравнение Лиувилля. Отличие составляет множитель \(1/2\) в скорости: $$ \begin{equation} {\partial F\over\partial t} + {p\over2m}{\partial F\over\partial x} = 0 \end{equation} $$

Этот результат очевидно соответствует хорошо известному факту, что фазовая скорость волны де-Бройля, соответствующей свободной нерелятивистской массивной частице равна \(V/2\), где \(V\) это скорость частицы.

Это означает, что классический предел функции Олаво отстаёт от настоящей классической функции распределения и, следовательно, эта функция (хотя и весьма интересная сама по себе, благодаря своей положительной определённости), к сожалению, не может рассматриваться в качестве кандидата представления квантового информационного поля.

\(x-\theta\) представление: функция Блохинцева \(B(x,\theta,t)\)

Иногда бывает удобно использовать другое представление, а именно то в котором операторы \(\hat{x}\) и \(\hat{\theta}\) принимают простую форму: $$ \begin{align} & \hat{x} = x\\ & \hat{p} = i\partial_\theta\\ & \hat{\theta} = \theta\\ & \hat{\lambda} = -i\partial_x\\ \end{align} $$

Основное уравнение принимает форму, найденную (в частном случае нерелятивистского гамильтониана) впервые Блохинцевым: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial B\over\partial t} = \left\{H(x - {\hbar\over 2}\theta, i\partial_\theta - {i\hbar\over 2}\partial_x) - H(x + {\hbar\over 2}\theta, i\partial_\theta + {i\hbar\over 2}\partial_x)\right\}B(x,\theta,t) \label{BlokhintsevEq} \end{equation} $$

Зависимость гамильтониана от координаты может быть очень сложной, ибо она исходит из конкретной формы потенциальной энергии \(U(x)\), в то время, как зависимость его от импульса исходит из кинетической энергии \(T(p)\) и в нерелятивистском случае является квадратичной формой. В таком случае, \(x-\theta\) представление позволяет избавиться от псевдо-дифференциального уравнения в \(x-p\) представлении и, вместо него, иметь дело с уравнением в частных производных, что значительно проще.

Вообще говоря, нам придётся имет дело с обоим представлениям решая задачу Коши численно способом спектрально-расщепляющего пропагатора, так как в данном методе полный оператор эволюции во времени разлагается в композицию частей каждая из которых принимает более простую форму только в одном из представлений.

Связь между функцией Вигнера и Блохинцева осуществляется посредством Фурье-преобразования: $$ \begin{align} W(x,p,t) & = {1\over2\pi}\int B(x,\theta,t)e^{ip\theta}\,d\theta & \equiv \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p}[B(x,\theta,t)]\\ B(x,\theta,t) & = \int W(x,p,t)e^{-ip\theta}\,dp & \equiv \mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta}[W(x,p,t)] \end{align} $$

Спектральнo-расщепляющий пропагатор в общем случае

Очень часто гамильтониан \(H(x,p)\) представляется в виде суммы кинетической и потенциальной энергии: $$ \begin{equation} H(x,p) = T(p) + U(x) \end{equation} $$

Тогда формула (\ref{rhosol}) принимает вид: $$ \begin{equation} \rho(t) = \exp\left\{-{it\over\hbar}\left( T(\hat{p} + {\hbar\over 2}\hat{\lambda}) - T(\hat{p} - {\hbar\over 2}\hat{\lambda}) + U(\hat{x} - {\hbar\over 2}\hat{\theta}) - U(\hat{x} + {\hbar\over 2}\hat{\theta}) \right)\right\}\rho(0) \label{rhosolTU} \end{equation} $$

Формула (\ref{rhosolTU}) может быть преобразована к более компактной форме, вводя понятие квантового дифференциала (см. также \ref{qd}): $$ \begin{align} & \qd f(x,dx) \equiv {1\over i\hbar}\left(f(x+{i\hbar\over 2}dx) - f(x-{{i\hbar\over 2}}dx)\right)\\ & \rho(t) = \exp\left\{t\left(\qd T(\hat{p},-i\hat{\lambda}) + \qd U(\hat{x},i\hat{\theta})\right)\right\}\rho(0)\label{rhosolqd} \end{align} $$

Далее, предположим, что начальное состояние информационного поля \(\rho(0)\) задано в виде функции, зависящей от классических переменных \(x,p\) фазового пространства, т.е. функцией Вигнера \(W_0(x,p)\). Тогда, формула (\ref{rhosolqd}) принимает более конкретную форму: $$ \begin{equation} W(x,p,t) = \exp\left\{t\left(\qd T(\hat{p},-i\hat{\lambda}) + \qd U(\hat{x},i\hat{\theta})\right)\right\}W_0(x,p)\label{Wsolqd} \end{equation} $$

По формуле (\ref{Wsolqd}) можно построить вычислительную схему для расчёта значения \(W(x,p,t+\Delta t)\) по его значению в предыдущий момент времени \(W(x,p,t)\) (точнее, по его значениям во всех точках \(x,p\), а не только в данной!): $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \exp\left\{\Delta t\left(\qd T(\hat{p},-i\hat{\lambda}) + \qd U(\hat{x},i\hat{\theta})\right)\right\}W(x,p,t)\label{Wsoldt} \end{equation} $$

Теперь у нас есть малый параметер \(\Delta t\), по которому можно разложить экспоненту, используя одну из апроксимаций: $$ \begin{align} &\exp\left\{\Delta t(\hat{A}+\hat{B})\right\} \approx \exp\left\{\Delta t\hat{A}\right\} \exp\left\{\Delta t\hat{B}\right\}\label{forder}\\ &\exp\left\{\Delta t(\hat{A}+\hat{B})\right\} \approx \exp\left\{\Delta t\hat{A}\over2\right\} \exp\left\{\Delta t\hat{B}\right\} \exp\left\{\Delta t\hat{A}\over2\right\}\label{sorder} \end{align} $$

Первое приближение (\ref{forder}) называется расщеплением Ли, а форма второго порядка (\ref{sorder}) известна под названием симметричного расщепления Странга. Ошибка в первом случае уменьшается линейно с уменьшением шага \(\Delta t\), а во втором случае квадратично, что делает последний более привлекательным для вычислений.

Локальная ошибка может быть легко вычислена для метода Ли: $$ \begin{align} & u' = Au + Bu, u_0 = u(0)\\ & u(t) = e^{t(A+B)}u_0\\ & u_{n+1} \approx e^{\Delta tA}e^{\Delta tB}u_n\\ & \Delta^{(1)}(h) \equiv u_1(h) - u(h) = \left(e^{hA}e^{hB} - e^{h(A+B)}\right)u_0 = {h^2\over2}[A,B]u_0 + O(h^3) \end{align} $$

Для расщепления второго порядка (Странг) получается более сложное выражение: $$ \begin{equation} \Delta^{(2)}(h) \equiv u_1(h) - u(h) = \left(e^{hA/2}e^{hB}e^{hA/2} - e^{h(A+B)}\right)u_0 = h^3\left({1\over12}[B,[B,A]]-{1\over24}[A,[A,B]]\right)u_0 + O(h^4) \end{equation} $$

Далее, введём два оператора \(\tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t)\) и \(\tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t)\) следующим образом: $$ \begin{align} & \tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t) \equiv \exp\left\{\Delta t\qd T(\hat{p},-i\hat{\lambda})\right\}\label{tildeT}\\ & \tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t) \equiv \exp\left\{\Delta t\qd U(\hat{x},i\hat{\theta})\right\}\label{tildeU} \end{align} $$

Теперь мы можем использовать, например, приближение первого порядка и переписать формулу (\ref{Wsoldt}) в следующей форме: $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t)\tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t)W(x,p,t)\label{Wsoldt2} \end{equation} $$

Чтобы упростить действие оператора \(\tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t)\) нам следует перейти от изначального представления \(x-p\) к представлению Блохинцева \(x-\theta\) с помощью Фурье-преобразования: $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t) \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p} \tilde{U}(x,\theta,\Delta t)\mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta}W(x,p,t)\label{Wsoldt3} \end{equation} $$

Заметим, что шляпки над операторами \(\hat{x}\) and \(\hat{\theta}\) в \(\tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t)\) исчезли, ибо в \(x-\theta\) представлении действие этих операторов сводится к умножения на числа \(x\) и \(\theta\) соответственно.

Тоже самое можно сделать и для упрощения действия оператора \(\tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t)\), временно переходя в представление \(p-\lambda\): $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \tilde{T}(p,\lambda,\Delta t) \mathcal{F}^{-1}_{x\rightarrow\lambda} \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p} \tilde{U}(x,\theta,\Delta t)\mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta}W(x,p,t)\label{Wsoldt4} \end{equation} $$

Формула (\ref{Wsoldt4}) уже в форме, которую можно использовать на компьютере, ибо она содержит только величины, которые можно непосредственно подсчитать. Тем не менее, перешием её в терминах экспоненциальных членов, чтобы сделать всю процедуру более явной: $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{\Delta t\qd T(p,-i\lambda)\right\} \mathcal{F}^{-1}_{x\rightarrow\lambda} \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p} \exp\left\{\Delta t\qd U(x,i\theta)\right\} \mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta}W(x,p,t)\label{Wsoldt5} \end{equation} $$

Точно таким же образом, опираясь на разложение второго порядка (\ref{sorder}), можно построить вычислительную схему намного более точную, чем (\ref{Wsoldt5}): $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{{\Delta t\over2}\qd T(p,-i\lambda)\right\} \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p} \mathcal{F}^{-1}_{x\rightarrow\lambda} \exp\left\{\Delta t\qd U(x,i\theta)\right\} \mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta} \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{{\Delta t\over2}\qd T(p,-i\lambda)\right\} \mathcal{F}^{-1}_{x\rightarrow\lambda}W(x,p,t)\label{Wsoldt6} \end{equation} $$

Свободная квантовая релятивистская частица в одном измерении

В данном случае гамильтониан состоит из одной лишь кинетической энергии (с учётом энергии покоя): $$ \begin{equation} H(x,p) = T(p) = c \sqrt{p^2 + m^2 c^2} \end{equation} $$

Уравнение для информационного поля принимает следующую упрощённую форму: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\rho\over\partial t} = \left[T(\hat{p}+{\hbar\over2}\hat{\lambda}) - T(\hat{p}-{\hbar\over2}\hat{\lambda})\right]\rho \end{equation} $$

Нетрудно записать формально его общее решение в форме Коши: $$ \begin{equation} \rho(t) = \exp\left\{-{it\over\hbar}\left[T(\hat{p}+{\hbar\over2}\hat{\lambda}) - T(\hat{p}-{\hbar\over2}\hat{\lambda})\right]\right\}\rho(0) \label{rhosolT} \end{equation} $$

Как и прежде, представим начальное состояние в виде функции \(W_0(x,p)\) определённой на классическом фазовом пространстве, т.е. в \(x-p\) представлении. Для вычисления операторно-значной экспоненты в (\ref{rhosolT}), нам необходимо пройти через одно пространство фурье-образов: $$ \begin{equation} (x-p)\overset{\mathcal{F}_{x\rightarrow\lambda}^{-1}}{\mapsto}(\lambda-p)\overset{\mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x}}{\mapsto}(x-p) \end{equation} $$

Эта процедура позволяет нам записать явную форму информационного поля в \(x-p\) представлении (т.е. функции Вигнера): "Wigner Function", as was mentioned already): $$ \begin{equation} W(x,p,t) = \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{-{it\over\hbar}\left[T(p+{\hbar\over2}\lambda) - T(p-{\hbar\over2}\lambda)\right]\right\} \mathcal{F}_{x\rightarrow\lambda}^{-1}[W_0(x,p)]\label{Wsol} \end{equation} $$

Заметим, что в отличие от (\ref{rhosolT}), в (\ref{Wsol}) уже нет шляпок над операторами \(p\) and \(\lambda\), ибо они свелись к простому умножению на числа. Воистину велика мощь спектрального анализа: он позволяет перейти от дифференциальных операторов к обычному умножению. Это простейшая иллюстрация "спектрально-расщепляющего пропагатора", который в данном случае даже не требует ничего "расщеплять" в экспоненте, ибо оба оператора \(\hat{p}\) and \(\hat{\lambda}\) были приведены к мультипликативной форме одновременно. (Если бы присутствовал член \(U(x)\), соответствующий потенциальной энергии, то, как мы уже видели выше, было бы невозможно сделать такое упрощение одновременно для всех четырёх операторов \(\hat{x},\hat{p},\hat{\theta},\hat{\lambda}\) и пришлось бы "расщепить" экспоненту от суммы в произведение экспонент, в котором каждый сомножитель содержал бы по паре операторов.)

Итак, у нас есть удобная и конкретная формула, которую можно превратить в вычислительный алгоритм для симуляции на компьютере: $$ \begin{equation} W(x,p,t) = \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{-{ict\over\hbar}\left[\sqrt{(p+{\hbar\over2}\lambda)^2+m^2c^2} - \sqrt{(p-{\hbar\over2}\lambda)^2+m^2c^2}\right]\right\} \mathcal{F}_{x\rightarrow\lambda}^{-1}[W_0(x,p)] \end{equation} $$

Операторы \(\mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x}\) and \(\mathcal{F}_{x\rightarrow\lambda}^{-1}\) могуть быть вычислены используя алгоритм FFT (Дискретное Быстрое Фурье-преобразование), реализованный либо на C или языке Python.

К сожалению, при числе пространственных измерений больше единицы (т.е. числе измерений фазового пространства больше двух), приходится использовать неравномерные сетки с адаптивным учащением (AMR), но эти методы пока не существуют для спектрально-расщепляющих пропагаторов. Поэтому, я в данный момент занимаюсь обобщением соответствующих численных методов на эту область. Это обобщение можно будет использовать для симуляции не только реалистичных 3-мерных (т.е. 6-мерных в фазовом пространстве) реальных объектов, но и 5-мерных в рамках теорий типа Калуцы-Клейна, что особенно интересно, ибо представляет собой возможность симуляции процессов с изменением электрического заряда и собственной массы.

Классический туннельный эффект

Ультиматон в покое

Два фотона

В этой анимации мы видим, что впереди и позади фотона бегут "пространственные навигаторы" — они видны в виде синих гребней. На графиках всё, что обозначено синим цветом соответствует не-материальным (т.е. непосредственно неизмеримым нашими приборами) потенциалам пространства, а красным обозначена материя-энергия в принципе детектируемая нашими приборами.

Интерпретация квантовой инфодинамики

В настоящее время (сентябрь 2017 г.) развитие квантовой инфодинамики зашло в тупик. С одной стороны, её область применимости значительно шире области применимости квантовой механики, т.к. последняя ограничена уравнением Шрёдингера. С другой стороны, в теории отсутствует понимание физического смысла основного объекта, т.е. того, что мы называем информационным полем или информационной волной. Это в точности соответствует отсутствию понимания физического смысла волновой функции в обычной (копенгагенской) интерпретации квантовой механики. Однако бедность предсказательной способности квантовой механики компенсирует полное отсутствие понимания её смысла. Физики утешают себя возможностью вычисления лишь вероятностей тех или иных результатов эксперимента, не задавая вопроса "Что же происходит в квантовых системах на самом деле?" После V Солвеевского конгресса 1927 г. и "государственного переворота", совершённого Бором и Гейзенбергом (см. прекрасную книгу Ж. Лошака "Принц в науке" в 1-м томе "Избранных трудов" Л. де Бройля), наука отвергла творческий путь развития и превратилась в технологическую служанку инженеров и промышленников, которая только и делает, что топчется на месте (с огромными затратами для ничего не подозревающих налогоплательщиков), но уже давно не в состоянии открыть ничего нового. Не мудрено, что творческий путь забыт в науке, если те, кто "делают науку" лишили себя способности творчески мыслить. Действительно, с 1930-х гг. в физике не было сделано ни одного фундаментального открытия.

Итак, следует признать, что квантовая инфодинамика, точно так же как и квантовая механика, лишена какой-либо разумной интерпретации. Однако, в отличие от квантовой механики, в квантовой инфодинамике вполне позволительно задавать вопросы о том, что происходит в системе "на самом деле" и расчитывать не только вероятности тех или иных стационарных состояний, но и динамические детали эволюции системы с учётом реальности пространства, в духе того, что объяснял по этому поводу Иисус и другие в Урантийских документах. Даже понятие энергии уже не может быть определено тем простым образом, как это делается в квантовой механике, ибо таким образом определённая "энергия" уже не будет сохраняться, из-за реакции пространства на движение.

Так возникла идея необходимости поиска смысла информационного поля и стало ясно, что пока этот вопрос не будет удовлетворительно решён, нецелесообразно продолжать моделирование конкретных систем, в силу невозможности или, по крайней мере, неоднозначности интерпретации полученных результатов.

Где же искать смысл квантовой инфодинамики, если не у истоков квантовой механики? Дело в том, что до копенгагенского "произвола", развитие квантовой механики шло по обычному в физике творческому пути, которому противно догматическое само-ограничение и отказ от права задавать какие-либо вопросы, как это ныне принято догмами копенгагенской интерпретации. Тогда она более правильно называлась "волновой механикой" и, благодаря работам её двух создателей, стало ясно, что она относится к "старой", ньютоновской механике так же как волновая теория света относится к геометрической оптике. Никто тогда не оспаривал, что этими двумя создателями были Луи де Бройль, заложивший концептуальные основы и Эрвин Шрёдингер, нашедший основное уравнение, носящее ныне его имя.

Этот путь, после детального изучения фундаментальных работ де Бройля, привёл к идее об идентификации концепции так называемой "волны де Бройля" и "информационного поля" квантовой инфодинамики.

Значение и применение идей де Бройля

Хотя Луи де Бройль и получил нобелевскую премию за предсказание дифракции электронов, истинное значение его идей было непонято и сами идеи полностью забыты. Это был не просто "великий физик", но "физик космического масштаба", творивший под девизом "Для будущего!" — девизом своего удивительного аристократического рода с 17-го века.

В статье 1923 г. "Волны и кванты" Луи де Бройль предложил ассоциировать "фиктивную волну" с движущейся материальной точкой. Скорость этой волны превышала скорость света: $$ \begin{equation} V = c/\beta = c^2/v \end{equation} $$

В статье 1925 г. "О собственной частоте электрона" де Бройль доказывает, что если потребовать, чтобы эта волна, с точки зрения неподвижного наблюдателя (относительно которого частица движется со скоростью \(v\)) удовлетворяла обычному волновому уравнению для электромагнитных волн (распространяющихся со скоростью света \(c\)), то её можно представить в виде суперпозиции двух сферических волн: а) расходящейся от частицы на бесконечность и б) сходящейся к частице из бесконечности. Последнюю можно тоже рассматривать как расходящуюся, но только в обратном времени, т.е. из будущего к прошлому. Принимая во внимание нашу идентификацию волны де Бройля с информационным полем и вспоминая идею Сергея Литвинова, согласно которой информационное поле должно быть как-то связано с некоей "функциональной фазой" контура разума, сфокусированного на Бесконечном Духе, который как мы знаем является спонсором всякого движения, получаем два интересных вывода:

1. Информационная волна-навигатор состоит из света. ("Бог есть свет и нет в нём тьмы")
2. Навигатор или "спонсор" всякого движения опирается в равной мере на оба вида причинности: из прошлого в будущее и из будущего в прошлое.